ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

Fractals παντού και πάντα!

Εισαγωγή:

Η ιδέα των fractals, όπως την εισήγαγε ο B.B.Mandelbrot, είναι πολύ απλή και ταυτόχρονα πολύ περίπλοκη. (Τα ίδια τα fractals είναι σχέτα περίπλοκα, τελεία και παύλα!). Όπως και νάναι, όλοι ξέρουμε ότι, εκτός πια κι αν κάποιος είναι εντελώς κολλημένος και μανιακός με τα μαθηματικά, η ιδέα και μόνο να μπλέξει με έννοιες τόσο αλλόκοτες όπως “Κλασματική Διάσταση” ή – θεός φυλάξει! – το “Γεωμετρικό Μέτρο του Hausdorff”, μπορεί να τον κάνει να ξεραθεί απ’ το φόβο του.....

Λοιπόν φίλοι και φίλες, ορίστε τα καλά νέα! Μετά από αυτήν την παρουσίαση και ίσως για όλη σας τη ζωή, θα έχετε φέρει αυτά τα τρομερά πράγματα σε λογαριασμό, θα εξοικειωθείτε με την χρήση τους και με τον καιρό θα σας φανούν απλά και εύχρηστα Ο σκοπός και η επιδίωξή μας σε αυτή την παρουσίαση θα είναι να κάνουμε τις έννοιες Διάσταση, Μέτρο, Fractal κλπ. προσιτές και χρήσιμες για όλους όσοι διαβάσουν αυτό το κείμενο, αρκεί να είχαν την τύχη να τελειώσουν το Λύκειο.

Θα καλύψουμε την ύλη μας αργά, βήμα προς βήμα. Θα δοθεί έμφαση στα σχήματα, και θα υπάρχει μόνο το απαραίτητο κείμενο που θα τα επεξηγεί απλά. Λίγο λίγο θα καταλάβετε και θα μάθετε να χρησιμοποιείτε τα αντικείμενα που περιέχει αυτό το δύσκολο αλλά και τόσο όμορφο θέμα. Και πριν το καταλάβετε, θα δείτε ότι μπορείτε να το εξηγήσετε και σε άλλους! Θα σας φαίνεται τόσο απλό.

Ασφαλώς δεν μπορεί αυτή η παρουσίαση να αντικαταστήσει τη μελέτη που πρέπει κανείς να κάνει, πάνω στην εξαιρετική βιβλιογραφία που καλύπτει το θέμα. (Αναφορές στο τέλος τής παρουσίασης).Αλλά θα δείτε ότι οι δυσκολίες σας στη μελέτη θα εξαφανίζονται καθώς θα προχωρείτε.

Αυτή είναι η ελπίδα και ο σκοπός αυτής τής εργασίας, καθώς και όσων ακολουθήσουν, στο ίδιο πνεύμα.

A. Η στοιχειώδης έννοια τής Ευκλείδειας Διάστασης.

Η ιδέα τής Διάστασης είναι πολύ καλά γνωστή σε όποιον κατέχει στοιχειωδώς την Ευκλείδεια Γεωμετρία, Επιπεδομετρία και Στερεομετρία. Και έτσι θάπρεπε να είναι. Ο αρχαίος φιλόσοφος και γεωμέτρης Ευκλείδης προσπάθησε να περιγράψει τον χώρο που μας περιβάλλει και τα γεωμετρικά αντικείμενα μέσα σ’ αυτόν. Αυτά τα αντικείμενα, όπως ξέρουμε όλοι, είναι τα σημεία, οι γραμμές, οι επιφάνειες και τα κομμάτια τού χώρου που ονομάζονται όγκοι.

Τα σημεία είναι απλά…σημεία. (Fig1a). Δεν υπάρχει κάτι άλλο να πούμε γι’ αυτά. Δεν κατέχουν όγκο μέσα στον χώρο και δεν έχουν ούτε μήκος ούτε εμβαδόν. Άρα, λέμε ότι έχουν Διάσταση μηδέν.

Κατά τα λεγόμενα τού Ευκλείδη: ‘Σημείον εστί ό ού μέρος ουδέν.’ Δηλαδή σημείο είναι κάτι πού δεν έχει μέρη, δεν διαμερίζεται.

Στην σημερινή γλώσσα των μαθηματικών: Τα σημεία έχουν Διάσταση Μηδέν.

Με τις γραμμές τα πράγματα είναι κάπως πιο περίπλοκα. (Fig1b) Ενώ όλα τα σημεία φαίνονται ίδια, οι γραμμές εμφανίζονται σε μια απέραντη ποικιλία σχημάτων. Έτσι, έχουμε ευθείες γραμμές, κύκλους, παραβολές, και άλλα πιο ακανόνιστα και περίπλοκα σχήματα, όπως θηλιές, κόμπους και μπερδεμένα συμπλέγματα. Κάποια απ’ αυτά είναι τόσο περίπλοκα πού θυμίζουν περισσότερο μία άμορφη μάζα παρά μια γραμμή. (Ρωτήστε και κανέναν κομμωτή!) Υπάρχουν γραμμές επίπεδες αλλά και γραμμές που ορίζονται μόνο στον τρισδιάστατο χώρο. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι η κυλινδρική έλικα.

Κι’ όμως όλες αυτές είναι γραμμές!

Γιατί;

Θέλω να πω το εξής: Ποια κοινή ιδιότητα έχουν όλα αυτά τα σχήματα ώστε να θεωρούνται γραμμές και όχι σημεία, ή επιφάνειες, ή οτιδήποτε άλλο;

Άς το σκεφτούμε λίγο…

Ο Ευκλείδης είπε: “Γραμμή εστί μήκος άνευ πλάτους”.

Και αυτό ακριβώς είναι το ζήτημα!

Μια γραμμή δεν έχει ούτε εμβαδόν ούτε όγκο. Έχει μόνο σημεία και ορίζεται από την κίνηση ενός σημείου, όπως ξέρουμε από το Λύκειο. Στην απλή Κινηματική μάθαμε ότι αυτό ακριβώς κάνει ένα κινούμενο σημείο. Ορίζει μία τροχιά. Μία τυχαία καμπύλη. Μία γραμμή.

Επομένως λέμε ότι οι γραμμές έχουν μόνο μία διάσταση.

Μία γραμμή είναι ένα Μονοδιάστατο Γεωμετρικό Αντικείμενο.

Το επόμενο βήμα μας είναι προφανές, έτσι δεν είναι; Επιφάνειες. Τι άλλο! (Fig1c)

Δεν είναι γραμμές και ασφαλώς δεν είναι σημεία. Αντίθετα, περιέχουν σημεία και γραμμές. Αλλά κυρίως περιέχουν εμβαδόν, κάτι που, όπως είπαμε ήδη, δεν συμβαίνει με τις γραμμές.

Υπάρχει κάτι που δεν περιέχουν ποτέ. Δεν περιέχουν όγκο.

. Οι επιφάνειες δεν έχουν όγκο. Είναι ‘σχέτα’ δισδιάστατες.

Μόνο που εδώ χρειάζεται λίγη προσοχή.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε μια επιφάνεια με την κίνηση ενός μόνο σημείου;

Μερικοί θάλεγαν ‘ναι’. Θα μπορούσαν ακόμα να αναφέρουν και κάποια παραδείγματα, όπως ‘Μπορώ να βάψω ένα τοίχο με την μύτη μιας βούρτσας’. Αλλά αν το σκεφτείτε λίγο, θα δείτε ότι η ‘μύτη’ αυτής της βούρτσας δεν είναι ένα σημείο. Είναι ένα πολύ μικρό αλλά συγκεκριμένο εμβαδόν.

Πώς λοιπόν κατασκευάζεται μια επιφάνεια; Μα είναι απλό! Με την μετακίνηση μιας γραμμής, όχι ενός μεμονωμένου σημείου!

Τώρα προχωρήστε λίγο τον συλλογισμό. Αρχικά είχαμε σημεία. Κινώντας ένα σημείο πήραμε μια γραμμή. Αν κινήσουμε μια γραμμή θα κατασκευάσουμε μια επιφάνεια. Και αν κινήσουμε μια επιφάνεια….Θα δημιουργήσουμε ένα κομμάτι χώρου.

Έναν όγκο. (Fig1d).

Άρα, ο Χώρος είναι τρισδιάστατος.

Είναι απλό σαν την αλφαβήτα. Μετακινείς ένα σημείο, φτιάχνεις μια γραμμή. Μετακινείς μια γραμμή και φτιάχνεις μια επιφάνεια Κι αν κινήσεις μια επιφάνεια θα φτιάξεις έναν όγκο. Τα λογικά βήματα είναι απολύτως ξεκάθαρα. Σκαλί το σκαλί, οι γεωμετρικές οντότητες πάνε απ’ την μηδενική στη μία, μετά στις δύο και τέλος στις τρεις διαστάσεις. Έτσι, η έννοια τού όρου ‘Διάσταση’ στην Γεωμετρία προκύπτει σαν άμεση συνέπεια των Αξιωμάτων και Ορισμών, όπως τα διατύπωσε εδώ και χιλιάδες χρόνια ο Ευκλείδης. Αυτά που περιγράφουμε εδώ με πολύ αφελή και στοιχειώδη γλώσσα, αποτελούν τα θεμέλια τής Γεωμετρικής και, γιατί όχι, και της Τοπολογικής έννοιας της Διάστασης. Άρα λοιπόν μπορούμε, απλά, ξεκάθαρα και αναμφισβήτητα να πούμε ότι η διάσταση ενός γεωμετρικού αντικειμένου μπορεί να είναι μόνο ένας από τους ακεραίους 0,1,2 ή 3. Δεν υπάρχει γι’ αυτό καμμιά απολύτως αμφιβολία.

Ή μήπως υπάρχει;

Μα τότε, από πού μας προκύπτουν όλες αυτές οι ιστορίες φρίκης για ‘Κλασματικές Διαστάσεις’; Τι είδους όντα είναι αυτά τα ‘Fractals’; Γραμμές; Επιφάνειες; Ή μήπως κάτι άλλο;

Εδώ χρειάζεται πάλι λίγη προσοχή. Όλοι ξέρουμε πως στη Γεωμετρία υπάρχουν πάρα πολλά περίεργα αντικείμενα. Ας ξαναθυμηθούμε μερικά από τα πιο γνωστά.

Στο Fig1 πιο πάνω, βλέπουμε κάποια απλά σχήματα. Τα ονομάζουμε ‘υποσύνολα’ τού Ευκλείδειου επιπέδου, ή τού χώρου, ανάλογα με την περίπτωση. Στο Fig 2, τα σχήματα είναι λίγο πιο περίπλοκα. Το σύνολο των γραμμών που βλέπουμε στο Fig 2, (b) και (c), δημιουργήθηκε με μια απλή επαναληπτική διαδικασία: παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC, (συνδυάστε Figs 1f και 2b) και ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του, M_A της BC, M_B της AC και M_C της AB. Τώρα έχουν σχηματιστεί τρία μικρότερα τρίγωνα μέσα στο ABC, συγκεκριμένα τα AM_BM_C, BM_CM_A, CM_AM_B και M_AM_BM_C. Αφαιρούμε το εσωτερικό του μεσαίου τριγώνου M_AM_BM_C, κρατώντας μόνο τα σημεία των πλευρών του. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για καθένα από τα υπόλοιπα τρία τρίγωνα, AM_BM_C, BM_CM_A και CM_AM_B (Fig2b). Στο σχήμα μας θα εμφανιστούν εννέα ακόμα μικρότερα τρίγωνα. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία άπειρες φορές, τελικά παίρνουμε ένα σύνολο στο επίπεδο, το οποίο περιέχει τις πλευρές όλων των τριγώνων που έχουμε αφαιρέσει. Θεωρητικά, δεν έχει απομείνει καθόλου εμβαδόν. (Αυτό το σύνολο είναι γνωστό με το όνομα πλέγμα του Sierpinski (Sierpinski gasket). (Fig2b)

Αυτό το σύνολο δεν είναι μια επιφάνεια! Όπως είπαμε, δεν έχει εμβαδόν. Σίγουρα δεν έχει όγκο. Και βέβαια δεν είναι ένα σύνολο σημείων, άπειρων στο πλήθος αλλά διακριτών μεταξύ τους. Δεν είναι, όπως θα λεγόταν, μια ‘σκόνη’ από μεμονωμένα σημεία. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι είναι γραμμή;

Σύμφωνα με όσα έχουμε ήδη πει, χμμ…. και είναι και δεν είναι!

Δεν μπορούμε να το σχεδιάσουμε μετακινώντας ένα σημείο, όπως μάθαμε να σχεδιάζουμε γραμμές. Εκτός βέβαια αν έχουμε άπειρο χρόνο και υπομονή.

Από το άλλο μέρος, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα μέρος του αποτελούμενο από γραμμές, αρκεί να είναι ένα πεπερασμένο μέρος του. Στην πραγματικότητα, εδώ πρόκειται απλά για πλευρές κάποιων τριγώνων, εφ’ όσον το συνολικό μας σχήμα δεν είναι τίποτε άλλο από έναν συνδυασμό άπειρων τριγώνων μέσα σε τρίγωνα που κι αυτά είναι μέσα σε άλλα τρίγωνα κλπ…..

Και είναι ακριβώς αυτή η απειρία των τριγώνων και των πλευρών τους που μας εμποδίζει να εφαρμόσουμε τις απλές ιδέες που μάθαμε μέχρι τώρα. Το σύνολό μας φαίνεται καθαρά ότι δεν μπορεί να έχει διάσταση δύο. Αλλά δυσκολευόμαστε να αποφασίσουμε ότι έχει διάσταση ένα, σαν να ήταν απλά μια μονοδιάστατη γραμμή.

Γι’ αυτό καλλίτερα να μην βιαστούμε, αλλά να κάτσουμε να σκεφτούμε λίγο. Ακόμα δεν έχουμε την δυνατότητα να απαντήσουμε σ’ αυτό το ερώτημα.

Χρειαζόμαστε να εξετάσουμε λίγο καλλίτερα την έννοια ‘Διάσταση’.

Ας την δούμε λοιπόν και από μια άλλη σκοπιά Την σκοπιά της ‘Ομοιότητας

B. Η έννοια της Ομοιότητας στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Η ιδέα των όμοιων σχημάτων είναι το ίδιο γνωστή σ’ έναν μαθητή όπως και η ιδέα της ομοιότητας. Αμέσως μόλις μάθουμε τι είναι ίσα μήκη, ίσες γωνίες, ίσα τρίγωνα κλπ, μπορούμε να καταλάβουμε τον ορισμό της ομοιότητας και να τον εφαρμόσουμε σε διάφορα σχήματα. Έτσι λοιπόν, δυο τρίγωνα είναι όμοια αν όλες τους οι γωνίες είναι ίσες, δυο τετράγωνα είναι πάντα όμοια, κλπ. Εφ’ όσον λοιπόν συζητάμε εδώ για ομοιότητα, ας εξετάσουμε σύνολα διαφόρων διαστάσεων και ας σκεφτούμε γύρω από την σχέση της διάστασης με την ομοιότητα.

Έτσι λοιπόν, μπορούμε να πούμε ότι, κατά μια τετριμμένη έννοια, όλα τα σημεία είναι όμοια μεταξύ τους, ακόμα και ίσα μεταξύ τους. (Αυτό ίσως δεν έχει μια τετριμμένη απόδειξη, αλλά ποιος χρειάζεται τέτοια απόδειξη εδώ, αφού σε όλους μας είναι αυτονόητο;). Στο ίδιο πνεύμα, δυο ευθύγραμμα τμήματα είναι επίσης όμοια. Οι κύκλοι είναι όλοι όμοιοι μεταξύ τους, αλλά όχι πάντα και τα τυχαία τόξα κύκλων. Αναφέραμε ήδη τα τετράγωνα και αξίζει να επισημάνουμε ότι το ίδιο ισχύει για τους κύβους. Καθώς η διάσταση ανεβαίνει και η πολυπλοκότητα του σχήματος αυξάνεται, αντίστοιχα έχουμε και πιο αυστηρές συνθήκες για την ομοιότητα δυο σχημάτων.

Και που ακριβώς βρίσκεται η σχέση ανάμεσα στις έννοιες της Διάστασης και της Ομοιότητας;

Τα όμοια σχήματα δεν είναι αναγκαστικά και ίσα. Υπάρχει, όπως ξέρουμε, μια παράμετρος που λέγεται ‘λόγος ομοιότητας’. Είναι ο λόγος των μηκών των αντιστοίχων γραμμικών στοιχείων των σχημάτων, σύμφωνα με τη σχέση ομοιότητας που τα συνδέει. Δυο τυχαίοι κύκλοι είναι όμοιοι. Ο λόγος ομοιότητάς τους είναι ίσος με τον λόγο των ακτίνων τους. Αν ο λόγος είναι μονάδα, τότε οι κύκλοι δεν είναι απλά όμοιοι. Είναι ίσοι. Το ίδιο ισχύει για δυο τρίγωνα, A₁B₁C₁ και A₂B₂C₂. (Fig1e). Είναι όμοια αν όλες τους οι γωνίες είναι ίσες, B₁A₁C₁ = B₂A₂C₂, A₁B₁C₁ = A₂B₂C₂ και C₁B₁A₁ = C₂B₂A₂. Ο λόγος ομοιότητας είναι ο λόγος αντιστοίχων πλευρών, δηλαδή αυτών που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες:

B₁C₁/B₂C₂ = C₁A₁/C₂A₂ = A₁B₁/A₂B₂

Και πάλι. Aν ο λόγος είναι μονάδα, τα τρίγωνα είναι ίσα. Αν όχι, είναι απλά όμοια.

Όλα αυτά είναι απλά πράγματα, εντελώς γνωστά και ίσως λίγο βαρετά. Το πραγματικά ενδιαφέρον ζήτημα είναι ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στο μέγεθος δυο σχημάτων, την διάστασή τους και τον λόγο ομοιότητάς τους!

Θεωρείστε τα δυο τετράγωνα, (το μεγάλο μαύρο και το μικρό άσπρο που περιέχεται σ’ αυτό), στο Fig2c. Είναι δισδιάστατα σχήματα. Ο λόγος ομοιότητας τους είναι τρία. Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους;

Η απάντηση, προφανώς, είναι ‘εννέα’. Αυτό όμως που δεν είναι προφανές είναι η σχέση:

(Λόγος των Εμβαδών) = (Λόγος Ομοιότητας)²

Ο αριθμός ‘δύο’ είναι, βέβαια, η διάσταση των τετραγώνων.

Αν τα αντικείμενά μας δεν είναι τετράγωνα αλλά κύβοι τριών διαστάσεων, η σχέση γράφεται:

(Λόγος των Όγκων) = (Λόγος Ομοιότητας)³

Ο γενικός κανόνας είναι: Αν προσδιορίσουμε το μήκος η το εμβαδόν η τον όγκο ενός αντικειμένου με τον όρο ‘Μέτρο’ και ονομάσουμε R τον λόγο των μέτρων, S τον λόγο ομοιότητας και D την Διάσταση των δυο αντικειμένων, η πιο πάνω σχέση γίνεται:

R = S^D

(Ας επισημάνουμε εδώ ότι, για να είναι δυο αντικείμενα όμοια, πρέπει να έχουν την ίδια διάσταση).

Ας θεωρήσουμε πάλι τα αντικείμενα του Fig2. Στο Fig2a, βλέπουμε ένα σχήμα που ονομάζεται Σύνολο Cantor. Μπορούμε να διακρίνουμε τον τρόπο κατασκευής του. Απαιτείται άπειρος αριθμός επαναλήψεων. Το επόμενο, στην Fig2b, ονομάζεται πλέγμα του Sierpinski (Sierpinski Gasket). Πρόκειται για το γνωστό μας σχήμα που αναφέραμε πιο πάνω, του οποίου την διάσταση δεν μπορούμε ακόμη να καθορίσουμε. Κι ακόμα ένα τέρας εμφανίζεται στο Fig2c. Αυτό μοιάζει με ένα ‘τετράγωνο’ στο επίπεδο. Αλλά και πάλι δυσκολευόμαστε να βρούμε την διάστασή του. Τέλος, έχουμε τα φρικιαστικά σχήματα στα Figs3 και 4! Αυτά ας τ’ αφήσουμε καλύτερα για το τέλος….

Ας αρχίσουμε από την αρχή. Πάμε πίσω στο σύνολο Cantor , (Fig2a) και ας μιλήσουμε για Ομοιότητα.

Παρατηρώντας προσεκτικά το σχήμα αρχίζουμε να διακρίνουμε διάφορα μέρη του που είναι όμοια με άλλα μέρη, καθώς και με ολόκληρο το σύνολο. Για να σιγουρευτούμε γι’ αυτό, ας εξετάσουμε πως δομείται το σχήμα, βήμα προς βήμα. Αρχίζουμε με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Το επόμενο βήμα είναι να το χωρίσουμε σε τρία ίσα μέρη. Απαλείφουμε το μεσαίο τμήμα. Στο επόμενο βήμα επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία στο καθένα από τα τμήματα που απόμειναν, δεξιά και αριστερά. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνέχεια.

Δεν σας είναι πλέον προφανές οτι το αριστερό και το δεξί κομμάτι είναι όμοια;

Για να πούμε την αλήθεια, είναι και ίσα. Έχουν ίσα μήκη και καθώς τα βήματα της διαδικασίας επαναλαμβάνονται, ότι αλλαγές συμβαίνουν στο ένα από τα δύο συμβαίνουν ακριβώς ίδιες και στο άλλο. Αυτό ισχύει για κάθε επαναλαμβανόμενο βήμα της διαδικασίας, αλλά, το πιο σημαντικό, ισχύει και όταν η όλη διαδικασία έχει συμπληρωθεί. Δηλαδή, μετά από άπειρα βήματα.

Αλλά μόλις τώρα φθάνουμε στο κεντρικό σημείο του συλλογισμού μας:

Το καθένα από τα δύο μέρη είναι όμοιο με ολόκληρο το σύνολο!

Αυτό ίσως δεν σας είναι άμεσα προφανές. Δεν ισχύει μετά το πρώτο η το δεύτερο η το δέκατο βήμα. Δεν ισχύει ούτε μετά από ένα εκατομμύριο η και δέκα δισεκατομμύρια βήματα. Μπορεί να θεωρηθεί ότι ισχύει μετά από ένα άπειρο πλήθος βημάτων. Ισχύει όταν φτάσουμε στο όριο και πάρουμε το τελικό αποτέλεσμα. Τότε και μόνο κάθε τμήμα είναι όμοιο με ολόκληρο το σύνολο, σύμφωνα με τον μαθηματικό ορισμό της ομοιότητας.

Από εκεί και πέρα, είναι απλό να δούμε ότι η ιδέα της ομοιότητας έχει εφαρμογή σε όλα τα τμήματα τού συνόλου Cantor, οσοδήποτε μικρά. Τα δυο υποσύνολα που εξετάσαμε παραπάνω, το αριστερό και το δεξί, περιέχουν, με τη σειρά τους, το καθένα το δικό του ‘αριστερό’ και ‘δεξί’ μέρος. Έχουμε λοιπόν τέσσερα μικρότερα υποσύνολα. Εφόσον η διαδικασία συνεχίζεται επ’ άπειρο, είναι αναμφισβήτητο γεγονός ότι το σύνολο Cantor περιέχει έναν άπειρο αριθμό από υποσύνολα, όλο και πιο μικρά, αλλά πανομοιότυπα προς το αρχικό σύνολο!

Κάθε ένα από αυτά, οσοδήποτε μικρό, είναι ένα πλήρες σύνολο Cantor από μόνο του!

Και είναι ακριβώς αυτή η επαναλαμβανόμενη πολυπλοκότητα, που συνεχίζεται σε κάθε τμήμα ενός γεωμετρικού αντικειμένου, οσοδήποτε μικρό, έως και το πιο απειροστά μικρό του μέρος, που χαρακτηρίζει ένα σύνολο σαν Fractal.

Αλλά έχουμε ακόμα πολύ δρόμο μέχρι να το καταλάβουμε αυτό εντελώς…

Γι’ αυτό…πίσω στην ομοιότητα. Έχουμε τώρα τα όμοια σχήματά μας. Μάλιστα, μπορούμε εδώ να αναφέρουμε την έννοια της “αυτο-ομοιότητας” και να αποκαλέσουμε το σύνολο Cantor ‘αυτο-όμοιο’. (Έχει επικρατήσει μάλιστα ο καλύτερος όρος ‘αυτόμορφο’) Κάθε τμήμα του είναι όμοιο με το όλο σχήμα.

Ναι, αλλά που μπαίνει η διάσταση;

Ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. Ας θεωρήσουμε δυο συγκεκριμένα όμοια μέρη του συνόλου. Για παράδειγμα, ξέρουμε ότι το αριστερό μέρος είναι όμοιο με το όλο σύνολο.

Ποιος είναι λοιπόν ο λόγος ομοιότητας;

Μα δεν είναι φανερό ότι όλο το σύνολο είναι τρεις φορές πιο μεγάλο από το αριστερό του μέρος;

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το γεγονός ότι το όλο σύνολο είναι τρεις φορές μεγαλύτερο από το αριστερό μέρος οφείλεται στον τρόπο που δομείται το σύνολο Cantor. Με βάση τον κανόνα σχηματισμού του, το αρχικό σύνολο διαιρείται σε τρία ίσα μέρη. Αν είχαμε επιλέξει κάποιον άλλον κανόνα, ο οποίος μπορεί να καθόριζε ότι το μέγεθος του μεσαίου τμήματος, αυτού που θα απαλειφθεί, μπορεί να οριστεί διαφορετικά αντί να είναι ένα τρίτο, τότε θα άλλαζε η τιμή της fractal διάστασης. Αλλά αυτό δεν θα επηρέαζε την υπόλοιπη λογική του υπολογισμού της διάστασης. Για μια πλήρη παρουσίαση αυτού του ζητήματος βλέπετε B.B.Mandelbrot, 1983).

Καταφέραμε να βρούμε το λόγο ομοιότητας. Τώρα πρέπει να δούμε αν τα σύνολά μας έχουν ένα κάποιου είδους ‘ μέτρο’, ώστε να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την διάσταση.

Άραγε όμως έχει το σύνολο Cantor ‘μήκος’ με την συνηθισμένη έννοια;

Η απάντηση είναι: ‘Όχι, δεν έχει’.

Αυτό φαίνεται εύκολα. Ας υποθέσουμε ότι το μήκος του αρχικού τμήματος είναι ‘ένα’.

Τότε το μήκος του τμήματος που απαλείφουμε στο πρώτο βήμα της διαδικασίας είναι 1/3. Απομένουν δυο τμήματα, το δεξιό και το αριστερό. Από αυτά, στο δεύτερο βήμα, πάλι απαλείφουμε το 1/3 του μήκους τους. Το απαλειφόμενο τότε τμήμα του αρχικού μήκους είναι 2/9 ,από 1/9 για κάθε κομμάτι. Στο ίδιο πνεύμα, στο επόμενο βήμα απαλείφουμε συνολικά μήκος ίσο με 4/27, εφόσον καθένα από τα τέσσερα κομμάτια του συνόλου χάνει 1/27 του ολόκληρου αρχικού μήκους. Και τα λοιπά, ως το άπειρο.

Τελικά, πόσο μήκος απαλείψαμε και πόσο απόμεινε από το αρχικό σύνολο;

Μπορούμε να βρούμε πόσο απαλείψαμε. Αντιστοιχεί στο άθροισμα:

S = (1/3) + (2/9) + (4/27) + ……+ (1/3)*(2/3)^N

όταν το N πηγαίνει στο άπειρο. Ή, αλλιώς:

S = lim{Σ[(1/3)*2/3)^N]}, όπου N = 1,2,3,…….ως το άπειρο.

Από τη θεωρία των γεωμετρικών προόδων, όπως τη μαθαίνουμε στο Λύκειο, το άθροισμα μιας τέτοιας προόδου που έχει πρώτο όρο 1/3 και λόγο 2/3, δίνεται από τη σχέση:

S = [(1/3)]/[1 – (2/3)]

Άρα, προφανώς, S = 1 !!!

Ξέρουμε τώρα, πέρα από κάθε αμφιβολία, ότι το μέρος που απαλείφθηκε είναι ίσο προς το συνολικό μήκος του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος. Δεν απομένει τίποτε άλλο από μεμονωμένα σημεία.

Κι ακόμα μιλάμε για ‘ομοιότητα’.

Κι ακόμα, έχουμε το θάρρος και την έμπνευση να κάνουμε ένα νοητικό άλμα και να μιλήσουμε για Μέτρο!!

Ακόμα κι αν δεν μπορούμε να δούμε, να προσδιορίσουμε, να υπολογίσουμε, ούτε καν να ορίσουμε μαθηματικά αυτό το νεφελώδες ‘Μέτρο’.

Ακόμα και αν, με βάση όλα όσα μάθαμε ως τώρα, αυτό το ‘μέτρο’ θα πρέπει κανονικά να είναι μηδέν.

Εδώ διατυπώνουμε μια αυθαίρετη συνθήκη: ‘Αν’ το σύνολο Cantor έχει κάποιο ‘μέτρο’, τότε αυτό το μέτρο θα πρέπει να διαμοιράζεται εξίσου ανάμεσα στα δυο μέρη του συνόλου, το αριστερό και το δεξί. Το καθένα από αυτά περιέχει το μισό από το ‘μέτρο’ ολόκληρου του σχήματος!

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να εφαρμόσουμε τον περίφημο τύπο μας!

R = (S)^D

Όπου, όπως και πριν, R είναι ο λόγος των μέτρων

R = (Μέτρο του όλου)/(Μέτρο του αριστερού κομματιού) που σημαίνει R ίσο με 2.

Και S είναι ο λόγος ομοιότητας, S = 3, όπως είπαμε πιο πάνω.

Τώρα ο υπολογισμός του D προκύπτει αυτόματα:

2 = 3^D η, τελικά:

D = [(log2)/(log3)]

Και αυτή είναι η διάσταση ομοιότητας του συνόλου Cantor.

Καλά, καλά! Αρχίσατε κιόλας τις διαμαρτυρίες!

Γ. Διάσταση ομοιότητας και τοπολογική διάσταση

Δυο διαφορετικές έννοιες και πως τις ξεχωρίζουμε.

Μπορώ αν καταλάβω πολύ καλά το μπέρδεμα που δημιουργήθηκε στο υπερφορτωμένο μυαλό σας! Έχετε ήδη αφομοιώσει ένα σωρό δυσκολοχώνευτες πληροφορίες. ΔΥΟ διαφορετικές διαστάσεις; ΚΑΙ ένα “μέτρο” που δεν υπάρχει, αλλά όμως μπορούμε, μυστηριωδώς, να το χρησιμοποιούμε στους υπολογισμούς μας; Μα τι γίνεται;

Ψυχραιμία, παρακαλώ. Όλα θα εξηγηθούν με τη σειρά τους.

Πρώτα από όλα, σχετικά με τα δυο είδη διάστασης. Το πρώτο, αυτό που ορίσαμε στην αρχή και το αποκαλέσαμε ‘Γεωμετρική η Τοπολογική Διάσταση’, είναι ακριβώς όπως το περιγράψαμε. Ο στοιχειώδης, απλοϊκός ψευδο-ορισμός που παρουσιάσαμε στην αρχή, μπορεί να μπει σε αυστηρή μορφή και να επεκταθεί ώστε να συμπεριλάβει οποιαδήποτε γεωμετρικά αντικείμενα που η διαίσθησή μας, η η εμπειρία μας, μας έχουν κάνει να τα θεωρήσουμε σαν μηδενοδιάστατα, μονοδιάστατα, δισδιάστατα, η τρισδιάστατα. Ο αυστηρός ορισμός, ο οποίος αναγνωρίζει σαν διάστασης μηδέν το σύνολο Cantor, (Fig 2a), σαν μονοδιάστατο το πλέγμα του Sierpinski (Sierpinski Gasket) και το Χαλί του Sierpinski, (Sierpinski Carpet.) (Figs 2b and c), και σαν δισδιάστατα τα τέρατα των Figs 3 and 4, είναι ασφαλώς πέρα από τα όρια αυτής της στοιχειώδους παρουσίασης. (Αναφέρεται στο HUREWICZ και WALLMAN, 1942 και σε συντομία στο B.B.MANDELBROT 1983). Έχει διάφορα ονόματα, όπως διάσταση Menger η διάσταση Urysohn. Αλλά τα σημεία πάντα θεωρούνται μηδενοδιάστατα, οι γραμμές μονοδιάστατες, κλπ, ακριβώς όπως κι εδώ. Το σημαντικό είναι ότι η τοπολογική διάσταση, όπως κι αν οριστεί, είναι πάντα ακέραιος αριθμός.

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η πιο αξιοσημείωτη γνώση που θα πρόσθετε ο αυστηρός ορισμός στην απλοποιημένη παρουσίασή μας είναι το ότι το κενό σύνολο έχει διάσταση –1!)

Ο ορισμός της διάστασης ομοιότητας, όπως παρουσιάστηκε εδώ, είναι πλήρης και απόλυτα αυστηρά διατυπωμένος. Βέβαια βασίζεται στον ορισμό των εννοιών μήκους, επιφάνειας και όγκου και την σύγκρισή τους σε σχέση με όμοια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά, για να ορίσουμε το ‘μήκος’, την ‘επιφάνεια’, η τον ‘όγκο’, χρειαζόμαστε, όπως ξέρουμε, την έννοια του ‘μέτρου’. Αυτό είναι επίσης κάτι που ξεπερνάει τα όρια αυτής αλλά και κάθε άλλης στοιχειώδους παρουσίασης. Στην απλή περίπτωση που πρόκειται για ένα ευθύγραμμο τμήμα, ένα τρίγωνο στο επίπεδο, η για μια πυραμίδα η έναν κύβο στο χώρο, δεν υπάρχει πρόβλημα. Το πρόβλημα εμφανίζεται όταν θεωρούμε εκείνο το αόριστο ‘μέτρο’, που το χρησιμοποιήσαμε στον ορισμό της ‘διάστασης ομοιότητας’ του συνόλου Cantor (Fig2a).

Ένας απλοϊκός, όχι αυστηρός τρόπος για να καταλάβουμε την έννοια του ‘μέτρου’ για το σύνολο Cantor, είναι η ακόλουθη οριακή διαδικασία:

Μπορούμε να συγκρίνουμε το μήκος ολόκληρου του συνόλου Cantor στην αρχή του σχηματισμού του, πριν από την αφαίρεση του μεσαίου ενός τρίτου. Υποθέτουμε ότι το μήκος του είναι ‘ένα’ (FIG 2a).

Προχωρούμε στο επόμενο βήμα. Μετά την αφαίρεση του μεσαίου τμήματος, το μήκος ολόκληρου του συνόλου είναι 2/3. Το μήκος του αριστερού μέρους είναι, προφανώς, 1/3.

Και ο λόγος του όλου προς το αριστερό μέρος είναι 2.

Στο επόμενο βήμα, αφαιρούμε δυο ακόμα μεσαία τμήματα, ένα από το αριστερό και ένα από το δεξί κομμάτι. Τώρα ολόκληρο το σύνολο έχει μήκος 4/9 και το αριστερό κομμάτι έχει μήκος 2/9.

Και ο λόγος του όλου προς το αριστερό μέρος είναι 2.

Στο τρίτο βήμα, το μήκος του όλου συνόλου είναι 8/27 και το μήκος του αριστερού κομματιού είναι 4/27.

Φτάνοντας πια στο τέταρτο βήμα, το μήκος του όλου είναι 16/81 και το μήκος του αριστερού κομματιού είναι 8/81.

Στο ν-στό βήμα το μήκος του όλου είναι: (2ⁿ/3ⁿ).

Το μήκος του αριστερού κομματιού είναι: (2^n-1/3ⁿ).

Και σε κάθε βήμα, ο λόγος του όλου προς το αριστερό μέρος είναι ΔΥΟ!!

Αυτό είναι το σημαντικό γεγονός που μας επιτρέπει να θεωρήσουμε ότι στο όριο, μετά από άπειρα βήματα, ο λόγος του μέτρου ολόκληρου του συνόλου Cantor προς το μέτρο του αριστερού του κομματιού είναι επίσης δυο!!

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ας σημειωθεί ότι το ‘μέτρο’ του συνόλου Cantor μπορεί να οριστεί με αυστηρό μαθηματικό τρόπο. Αυτός ο ορισμός, φυσικά, πάλι ξεφεύγει από τα όρια αυτής της παρουσίασης. Και βέβαια, η σχετική αναφορά είναι –πάλι!- στο βιβλίο των HUREWICZ and WALLMAN, 1942 και συντομευμένα, στο βιβλίο του B.B.MANDELBROT 1983. Για να υπολογίσουμε το μέτρο του συνόλου Cantor, χρειαζόμαστε την έννοια του μέτρου Ηausdorff ενός συνόλου, ενώ, αντίθετα, για να βρούμε τις γνωστές μας μέχρι τώρα ποσότητες, όπως μήκος, εμβαδόν, η όγκο ενός συνόλου, χρησιμοποιούμε το πιο συνηθισμένο μέτρο Lebesgue. Η έννοια του μέτρου Ηausdorff, με την σειρά της, μας οδηγεί στην έννοια της διάστασης Ηausdorff – Besicowitch, που είναι ακριβώς η πολύ γνωστή μας διάσταση ομοιότητας. Απλά, εδώ παρουσιάστηκε με τρόπο που να μην τρομάζει ο απλός κοσμάκης…. Σαν άσκηση, μαντέψτε μόνοι σας την σχετική αναφορά…)

Επομένως, αν αντέχετε το γεγονός ότι το μέτρο του συνόλου Cantor υπάρχει ακόμα κι αν εσείς δεν έχετε αυτή τη στιγμή τις γνώσεις που θα σας επέτρεπαν να διατυπώσετε τον ακριβή μαθηματικό ορισμό του, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να εκτελέσετε τους υπολογισμούς σας όπως παρουσιάζονται παραπάνω. Μ’ αυτόν τον τρόπο θα οδηγηθείτε στη διάσταση ομοιότητας του συνόλου Cantor. Η διάσταση αυτή ονομάζεται: Η Fractal Διάσταση του συνόλου Cantor.

Ο προσεκτικός αναγνώστης θα έχει ήδη προσέξει κάποια δευτερεύοντα προβλήματα με τους παραπάνω συλλογισμούς και το αποτέλεσμα που μας έδωσαν. Πρώτα απ’ όλα, σε όλα τα διαδοχικά βήματα της παραπάνω διαδικασίας, τα αντικείμενα που συγκρίνουμε δεν είναι όμοια! Αν έχουν γίνει μόνο πεπερασμένα βήματα της διαδικασίας, το όλο σύνολο δεν είναι όμοιο με το αριστερό κομμάτι. Παρ’ όλα αυτά, μπορούμε ακόμα να συγκρίνουμε τα μήκη τους και να βρούμε την τιμή του λόγου των μηκών. Το όλο σύνολο γίνεται όμοιο με το αριστερό κομμάτι μόνο όταν θεωρήσουμε ότι συμπληρώθηκαν άπείρες επαναλήψεις. Αλλά τότε πια και το μήκος του όλου συνόλου και το μήκος του αριστερού κομματιού θα είναι μηδέν. Άρα, αν και ο συλλογισμός μας μάς οδηγεί φυσιολογικά στο συμπέρασμα ότι ο λόγος των μέτρων των δυο συνόλων θα είναι δυο, με κανένα τρόπο δεν αποτελεί αυστηρή απόδειξη, όπως την εννοούμε στα μαθηματικά.

Ε, καλά…Αν δεν πείτε τίποτα, δεν θα πω ούτε εγώ…οπότε εντάξει!

Και τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της fractal διάστασης των υπόλοιπων σχημάτων στα Figs 2, 3, και 4.

Δ. Πως υπολογίζεται η FRACTAL διάσταση αυτο-ομοίων συνόλων.

Δημιουργήσαμε ήδη ένα πολύ δυνατό και χρήσιμο όπλο στην πορεία μας για την κατανόηση των νέων εννοιών. Μια μέθοδο που, αν εφαρμοστεί σωστά, μπορεί να μας βοηθήσει στον υπολογισμό της Fractal διάστασης συνόλων ακόμα πιο περίπλοκων από το σύνολο Cantor. Αλλά ένα τέτοιο όπλο πρέπει να είναι καλά ακονισμένο, για να διαπερνά άνετα τις δυσκολίες. Και ο πιο καλός τρόπος να το ακονίσουμε είναι να εξασκηθούμε πάνω στα παραδείγματα που διαθέτουμε.

Καλύτερα να αρχίσουμε από το πιο εύκολο. Είναι αυτό που ονομάζεται Sierpinski Gasket, (Πλέγμα του Sierpinski)(Fig 2b). Έχουμε ήδη περιγράψει την κατασκευή του. (Σε συνδυασμό και με το Fig 1f). Στην τελική του μορφή έχει τρία υποσύνολα, ένα στην κορυφή, ένα αριστερά στη βάση και ένα δεξιά στη βάση, που και τα τρία είναι όμοια με το όλο σύνολο. Οποιοδήποτε από αυτά μας κάνει για να αναπτύξουμε το συλλογισμό μας. Διαλέγουμε αυθαίρετα το σύνολο της κορυφής.

Μπορούμε να υπολογίσουμε το λόγο ομοιότητας συγκρίνοντας την πλευρά του όλου συνόλου, για την οποία δεχόμαστε ότι είναι ‘ένα’, με την πλευρά του υποσυνόλου που διαλέξαμε και η οποία είναι ½. Προφανώς, ο λόγος ομοιότητας είναι 2.

Το ‘μέτρο’ του όλου συνόλου είναι τρεις φορές εκείνο του υποσυνόλου. Αυτό γιατί το όλο σύνολο περιέχει τρία ίσα τέτοια υποσύνολα, όπως είπαμε ήδη.

Το μόνο που απομένει τώρα είναι να εφαρμόσουμε τον τύπο που δίνει την Fractal διάσταση:

(Μέτρο του όλου)/(Μέτρο του υποσυνόλου) = (Λόγος ομοιότητας)^{(Fractal Διάσταση)}

This formula is more familiar to us in its symbolic form:

R = (S)^D

Όπου R είναι ο λόγος των μέτρων, S ο λόγος ομοιότητας και D η Fractal διάσταση.

Ξέρουμε από τα προηγούμενα ότι R = 3 και S = 2.

Άρα, D = (log3)/(log2).

Αυτή λοιπόν είναι η τιμή της Fractal διάστασης του Sierpinski Gasket. (Πλέγμα Sierpinski).

Το επόμενο αντικείμενο είναι επίσης ένα επίπεδο σχήμα.

Είναι το τετραγωνικού σχήματος αντικείμενο που απεικονίζεται στο (Fig 2c). Ονομάζεται το χαλί του Sierpinski. (Sierpinski Carpet.)

Προσέξτε τα διαδοχικά βήματα που εκτελούμε για να το δημιουργήσουμε. Το αρχικό μας σχήμα είναι ένα τετράγωνο, πάλι θεωρώντας ότι η πλευρά του έχει μήκος ‘ένα’. Προφανώς, το εμβαδόν του θα είναι επίσης ‘ένα’. Τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε όλες τις πλευρές του με τρία και να το διαμοιράσουμε σε εννέα μικρότερα κομμάτια. (Όπως στο Fig 1g). Κατόπιν μπορούμε να απαλείψουμε το μεσαίο τετράγωνο. (Στο Fig 2c φαίνεται σαν ένα μικρό άσπρο τετράγωνο σε μαύρο φόντο). Αυτό είναι το βήμα ένα. Το βήμα δυο είναι να επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία για το καθένα από τα οχτώ υπόλοιπα τετράγωνα που απέμειναν. Χωρίζουμε το καθένα τους σε εννέα ακόμα μικρότερα τετράγωνα και απαλείφουμε το μεσαίο. Αν επαναλάβουμε τα παραπάνω βήματα άπειρες φορές, καταλήγουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Το χαλί του Sierpinski. (Sierpinski Carpet).

Τώρα θεωρείστε το όλο σύνολο, και συγκρίνετέ το με ένα κατάλληλο κομμάτι του. Διαλέγουμε εκείνο το υποσύνολο που βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία του σχήματος. Αυτό είναι ένα από τα οκτώ υποσύνολα που είναι όμοια με το όλο σύνολο. (Θα μπορούσαμε αν θέλαμε να διαλέξουμε οποιοδήποτε από τα άλλα επτά υποσύνολα). Αυτό το υποσύνολο είναι όμοιο με το όλο σύνολο. Ο λόγος ομοιότητας είναι 3, γιατί είπαμε πως η πλευρά του όλου σχήματος έχει μήκος ‘ένα’, άρα και η πλευρά του υποσυνόλου είναι 1/3. Ο λόγος των ‘μέτρων’, δηλαδή ο λόγος του μέτρου του όλου προς το μέτρο του κομματιού, είναι οκτώ. Αυτό γιατί το όλο σύνολο περιέχει οκτώ μικρότερα υποσύνολα, ίσα με το συγκεκριμένο υποσύνολο της επάνω αριστερής γωνίας. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε πάλι τον παλιό μας χιλιοειπωμένο τύπο και να πάρουμε:

(Μέτρο του όλου)/(Μέτρο του υποσυνόλου) = (Λόγος ομοιότητας)^{(Fractal Διάσταση)}

ή, σε συμβολική μορφή: S = R^D.

Αντικαθιστώντας με τις τιμές του παραδείγματός μας:

8 = 3^D

ή:

D = (log8)/(log3) = 3(log2)/(log3)

Άρα, η Fractal διάσταση του χαλιού του Sierpinski, (Sierpinski Carpet), είναι τρεις φορές εκείνη του συνόλου Cantor.

Αυτό που κάναμε σ’ αυτά τα παραδείγματα δεν ήταν τίποτε άλλο από το να επαναλάβουμε τα ίδια βήματα με εκείνα του υπολογισμού της Fractal διάστασης του συνόλου Cantor. Αυτό και μόνο χρειαζόταν. Και πραγματικά, κάθε συλλογισμός και κάθε προϋπόθεση που χρησιμοποιήθηκε για εκείνο τον υπολογισμό μπορεί να επαναληφθεί αντίστοιχα και για αυτά τα παραδείγματα. Ο λόγος του εμβαδού του όλου προς το εμβαδόν του κομματιού παραμένει σταθερός σε κάθε βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας που δημιουργεί αυτά τα σύνολα. Ο λόγος ομοιότητας πάλι υπολογίζεται απλά συγκρίνοντας τα μεγέθη ομοίων συνόλων. Τα τρία παραδείγματά μας, το σύνολο Cantor, το πλέγμα Sierpinski, (Sierpinski Gasket), και το χαλί του Sierpinski, (Sierpinski Carpet) είναι όλα αυτο-όμοια σύνολα. Και είναι ακριβώς αυτή η έννοια της αυτο-ομοιότητας που κάνει τον ορισμό και τον υπολογισμό της Fractal διάστασης τόσο αυτονόητο και εύκολο στην εκτέλεσή του.

Για εκείνους τους αναγνώστες μας που έχουν ενδιαφέρον και ικανότητα για βαθύτερη μελέτη, κάποιες συμπληρωματικές παρατηρήσεις ίσως φανούν χρήσιμες. Πρώτα απ’ όλα, βλέπουμε τη διαφορά ανάμεσα στο σύνολο Cantor και τα άλλα δυο παραδείγματα. Το σύνολο Cantor ορίζεται πάνω σε μια γραμμή. Ο μαθηματικός όρος για μια τέτοια κατάσταση είναι εμφύτευση. Λέμε λοιπόν ότι το σύνολο Cantor είναι εμφυτευμένο στην μονοδιάστατη Ευκλείδεια γραμμή. Τότε η ευθεία γραμμή καλείται ο περιβάλλων χώρος. Ένας προσεκτικός αναγνώστης θα σημειώσει ότι η τοπολογική διάσταση του συνόλου Cantor είναι μηδέν, όπως είπαμε ήδη.Άρα, η Fractal διάσταση είναι ένας αριθμός ο οποίος κείται ανάμεσα στην τοπολογική διάσταση ενός Fractal συνόλου και την διάσταση του περιβάλλοντος χώρου του!

Σαν παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το σύνολο Cantor. Η fractal διάστασή του, όπως είδαμε, είναι: D = (log2)/(log3) ~ 0.6309. Προφανώς, η σχέση:

(Τοπολογική διάσταση) < (Fractal διάσταση) < (Διάσταση περιβάλλοντος χώρου)

ισχύει εδώ, εφ’ όσον: 0 < 0.6309 < 1. Ξέρουμε ότι η τοπολογική διάσταση του συνόλου Cantor είναι μηδέν, γιατί αποτελείται από διακριτά σημεία. Σύνολα όπως το σύνολο Cantor αποκαλούνται ‘σκόνες’. (B.B.MANDELBROT, 1983, pp. 74 to 83).

Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στα υπόλοιπα Fractals που έχουμε ήδη μελετήσει, και έχουμε ήδη υπολογίσει τη Fractal διάστασή τους. Επόμενο στη σειρά είναι το Fractal που ονομάσαμεwe called πλέγμα Sierpinski. (Sierpinski’s Gasket). Η Fractal διάστασή του είναι: D = (log3)/(log2) ~ 1.5849, η τοπολογική διάστασή του είναι 1 και η διάσταση του περιβάλλοντος χώρου του είναι 2. Η σχέση:

1 < 1.5849 < 2

επαληθεύει το γενικό κανόνα που διατυπώσαμε παραπάνω.

Το τελευταίο Fractal ήταν το χαλί του Sierpinski (Sierpinski’s Carpet). Η τοπολογική του διάσταση είναι:

D = (log8)/(log3) ~ 1.8928. Και πάλι, 1 < 1.8928 < 2.

Στο βιβλίο του B.B.Mandelbrot, (B.B.MANDELBROT 1983 pp.142 to144), χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος για τον υπολογισμό της Fractal διάστασης των σχημάτων στα Figs 3 και 4. Το σχήμα στο Fig 3 είναι έτσι κατασκευασμένο ώστε το όλο σύνολο να είναι όμοιο με καθένα από τα τέσσερα υποσύνολα που μπορούμε να διακρίνουμε σ’ αυτό, ένα στην κορυφή και τρία στη βάση. Ο λόγος των μέτρων είναι τέσσερα, μια και διακρίνουμε ότι περιέχει τέσσερα υποσύνολα και ο λόγος ομοιότητας είναι δυο. Άρα, η Fractal διάσταση είναι: D = (log4)/(log2) = 2 (ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ακέραιος αριθμός!). Η τοπολογική του διάσταση είναι ένα! (Από τη σκοπιά της τοπολογίας είναι γραμμή, εφ’ όσον μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν περιέχει ούτε εμβαδόν ούτε όγκο). Είναι, προφανώς, εμφυτευμένο στον τρισδιάστατο χώρο. Έτσι, 1 < 2 < 3. Και τελευταίο και καλύτερο, το εφιαλτικό δημιούργημα του Fig 4! Αυτό το τέρας ονομάζεται ο σπόγγος του Menger. Η τοπολογική του διάσταση είναι πάλι ένα. Μάλιστα, πρόκειται για γραμμή!! (Μην το ψάχνετε!). Η Fractal διάστασή του είναι D = (log20/log3) ~ 2.7268. (Όρκο παίρνω, πιστέψτε με). Είναι, όπως είπαμε, εμφυτευμένο στο χώρο, άρα: 1 < 2.7268 < 3. Αυτό είναι και το τελευταίο των παραδειγμάτων fractal που εξετάζουμε εδώ. Τουλάχιστον, μπορούμε πια να πούμε ότι κατά κάποιο τρόπο δαμάσαμε τα θηρία!

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο βιβλίο του B.B.Mandelbrot,τα παραπάνω δεδομένα για το πλέγμα Sierpinski, (Sierpinski Gasket), και τον σπόγγο του Menger δίνονται χωρίς πολλές εξηγήσεις. Για περισσότερες λεπτομέρειες, ο Mandelbrot, στην σελ. 144, δίνει αναφορά στους αναγνώστες του τους Blumenthal και Menger, 1970).

Πρέπει να εξηγήσω ότι ο Mandelbrot, αν και ουσιαστικά χρησιμοποιεί την ίδια μεθοδολογία για τον υπολογισμό της fractal διάστασης, έχει έναν λίγο διαφορετικό συμβολισμό για τα ίδια μεγέθη. Για παράδειγμα, στο σύνολο Cantor, ενώ εδώ λέμε ότι ο λόγος των μέτρων είναι R = 2 και ο λόγος ομοιότητας είναι S = 3, για τον Mandelbrot είναι N = 2 και b = 1/3. Η διαφορά είναι μόνο στα σύμβολα. Η λογική είναι ακριβώς η ίδια. Γι’ αυτό, παρακαλώ μην μπερδεύεστε!

Σαν συμπέρασμα, μπορούμε τώρα να ισχυριστούμε ότι ξέρουμε πως να αναγνωρίσουμε και να μελετήσουμε μια μάλλον ειδική αλλά και πολύ σημαντική κατηγορία fractals. Δηλαδή εκείνα τα σύνολα τα οποία χαρακτηρίζονται σαν αυτο-όμοια. Βέβαια, δεν είναι όλα τα fractals τόσο εύκολα να τα χειριστεί κανείς. Παρ’ όλα αυτά, μπορούμε να δώσουμε έναν πρώτο, ας πούμε πρόχειρο, ορισμό του τι είναι ένα fractal:

Αν ένα γεωμετρικό αντικείμενο είναι αυτο-όμοιο και η διάσταση ομοιότητάς του είναι αυστηρά μεγαλύτερη από την τοπολογική του διάσταση,τότε είναι ένα Fractal, και η Fractal διάστασή τουείναι ίση με την διάσταση ομοιότητάς του.

Προσέξτε ότι, όπως στο παράδειγμα του Fig 3, ένα fractal μπορεί να έχει ακέραια fractal διάσταση. Το γεγονός ότι δεν είναι ίση, αλλά αυστηρά μεγαλύτερη από την τοπολογική του διάσταση, είναι αρκετό για να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα fractal.

Ε. Τελικά σχόλια, συζήτηση και συμπεράσματα.

Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε, ένα προς ένα, τα οφέλη μας.

Έχουμε αποκτήσει μια ιδέα για το τι είναι η τοπολογική διάσταση. Μπορούμε να την αναγνωρίσουμε στα απλά, στοιχειώδη, γεωμετρικά σχήματα. Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε ακόμα και πιο δύσκολες περιπτώσεις, όπως το σύνολο Cantor, χωρίς μεγάλες δυσκολίες.

Έχουμε κατανοήσει την έννοια της ομοιότητας και της διάστασης ομοιότητας.

Πήραμε μια ιδέα του τι σημαίνει ‘μέτρο’. Μπορούμε να το περιγράψουμε σε απλές περιπτώσεις, όταν ταυτίζεται με την έννοια του ‘μήκους’, του ‘εμβαδού’, ή του ‘όγκου’. Μπορούμε πια να προσπαθήσουμε να ασχοληθούμε με το μέτρο πιο περίπλοκων σχημάτων, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ‘αυτο-ομοιότητας’.

Τέλος, κάτι πολύ σημαντικό, μπορούμε να επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε την fractal διάσταση κάποιων ‘τυποποιημένων’, αυστηρά μαθηματικά ορισμένων, fractal συνόλων, με την προϋπόθεση ότι ικανοποιούν αυστηρά τη συνθήκη της ‘αυτο-ομοιότητας’.

Ήρθε πια η ώρα να σταματήσουμε λίγο και να σκεφτούμε τι ακριβώς μελετήσαμε, τι μάθαμε και τι πετύχαμε ως τώρα. Σίγουρα, όταν ξεκινούσαμε, είχαμε στο νου μας κάποιους μάλλον φιλόδοξους στόχους, Πρώτα απ’ όλα, είχαμε την απαίτηση να πετύχουμε την κατανόηση εννοιών όπως τι είναι fractal και τι είναι fractal διάσταση. Αλλά ακόμα κι αυτά δεν ήταν αρκετά για να ικανοποιήσουν τον υπερτροφικό μαθηματικό μας εγωισμό! Θέλαμε ακόμα να μπορούμε, αν όχι με την πρώτη ματιά, τουλάχιστον χωρίς ιδιαίτερο κόπο, να αναγνωρίσουμε ένα fractal, αν, κάποτε στη διάρκεια των περιπλανήσεών μας στη χώρα του εξωφρενικού, συνέβαινε να συναντήσουμε κάτι τέτοιο. Επί πλέον, είχαμε και το θράσος να απαιτούμε, απλά με τη μελέτη αυτών των λίγων σελίδων και την ελάχιστη εξοικείωση που θα μας προσφέρουν πάνω σ’ όλα αυτά τα τέρατα, να μπορούμε, ούτε λίγο ούτε πολύ, να μελετάμε και να υπολογίζουμε ακόμα και την fractal διάστασή τους! Για τους πιο πολλούς από μας, ένα πολύ ευγενικό και άξιο εγχείρημα, σωστά;

Λοιπόν…τελικά το πετύχαμε;

Λοιπόν….ναι!..και όχι…

Δεν είναι δυνατόν να ελπίζει κανείς ότι θα κατακτήσει στην ολότητά του ένα τόσο πολύπλοκο θέμα, απλά ξεφυλλίζοντας καμιά δεκαριά σελίδες μιας απλουστευμένης περιγραφής, κάποιες υποδείξεις, ενδείξεις και σκιαγραφήσεις αποδείξεων. Η απέραντη ποικιλία των fractal συνόλων και των εφαρμογών τους, που στην πράξη καλύπτει όλα τα επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία, από τα καθαρά μαθηματικά ως την οικονομία και την χαρτογραφία, δεν είναι κάτι που μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε με τόση ελαφρότητα. Ακόμα και απλά παραδείγματα, όπως αυτό της fractal μορφής της ακτογραμμής της Βρετανίας, όπως αναφέρεται, - με τόσες λεπτομέρειες… -, στο βιβλίο του Mandelbrot, δεν γίνεται να αντιμετωπιστούν με τα αφελή και απλοϊκά κολπάκια που μάθαμε εδώ. Ακόμα περισσότερο όταν πρόκειται για περιπτώσεις αξιοσημείωτης πολυπλοκότητας, όπως η κίνηση Brown, ή οι παράξενοι ελκυστές στην Μη Γραμμική Μηχανική και στο Χάος, ή οι διεπιφάνειες διαλύματος-πηκτίνης στα σύνθετα υλικά, όπως τα πολυμεροειδή ή τα κονιάματα. Εδώ τίποτα δεν μπορεί να αντικαταστήσει την πολύχρονη, σκληρή μελέτη. Δεν χωράνε εξυπνάδες και πασαλείμματα.

Αλλά τότε;

Αλλά τότε, έχουμε καταφέρει σε κάποιο βαθμό, έστω και μικρό, να κατανοήσουμε μερικά πράγματα. Για παράδειγμα, τώρα ξέρουμε τι εννοούν κάποιοι ‘ειδικοί’, όταν λένε “Fractal Διάσταση”, με εκείνο το ύφος ανωτερότητας. Μπορούμε ακόμα και να χαμογελάμε,- από μέσα μας -, όταν ο ‘ειδικός’ αναφέρει το ‘γεγονός’ ότι ‘fractal σημαίνει κλασματικό’! Και μπορούμε πια να ανταποκριθούμε σε μια συζήτηση με τους γνωστούς μας για όλα αυτά χωρίς εκείνο το παγερό συναίσθημα ασχετοσύνης και τον πανικό ότι κάποια στιγμή θα εκτεθούμε σαν εντελώς αγράμματοι. Ξέρουμε τη διαφορά ανάμεσα σε κάποιο συνηθισμένο και σε κάποιο ασυνήθιστο γεωμετρικό αντικείμενο. Ξέρουμε ότι ένας κύβος δεν είναι fractal. Ξέρουμε γιατί. Και όλα αυτά μπορούμε να τα εξηγήσουμε και σε άλλους.

Το πιο σημαντικό είναι ότι ξεπεράσαμε τους φόβους μας. Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε σε πιο σοβαρή μελέτη του αντικειμένου και να κατακτήσουμε τη γνώση του.

Κύριο θέμα | Βιβλιογραφία | Παράρτημα | Σχήματα | Άλλα Links