ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ (APPENDIX)

Είναι χρήσιμο να προστεθεί εδώ, σαν συμπλήρωμα στο πιο πάνω υλικό, κάποιους αυστηρούς μαθηματικούς ορισμούς, οι οποίοι θα χρησιμεύσουν να γίνουν πιο σαφείς οι απλουστευμένες ιδέες του κεντρικού κειμένου, αλλά κυρίως θα βοηθήσουν στην παραπέρα μελέτη.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Ονομάζουμε αριθμήσιμο σύνολο κάθε σύνολο το οποίο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα και επί αντιστοιχία με κάποιο υποσύνολο των φυσικών αριθμών.

ΟΡΙΣΜΟΣ 2. Ονομάζουμε υπεραριθμήσιμο σύνολο κάθε σύνολο για το οποίο ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: Κάθε αριθμήσιμο υποσύνολό του είναι και γνήσιο υποσύνολό του. (Iμε την έννοια ότι δεν περιέχει όλα τα στοιχεία του αρχικού συνόλου.)

ΟΡΙΣΜΟΣ 3. Το Μέτρο Lebesgue ενός υποσυνόλου του Ευκλειδείου χώρου R^N, N = 0, 1, 2, 3, ... κλπ. είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από την οικογένεια των υποσυνόλων του R^N στο σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών, R⁺, και η οποία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Το μέτρο ενός σημείου είναι μηδέν.
2. Αν θεωρήσουμε μια αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του R^N,

{ A₁, A₂, ….., A_i,…}, i = 1, 2, … τέτοια ώστε, " i / j, A_iC A_j = ? , τότε:

m(UA_i) = lim{m(A₁)+m(A₂)+….+m(A_N), N ® ¥ }
όπου με m συμβολίζουμε το Μέτρο Lebesgue και με U A_i συμβολίζουμε την ένωση όλων των A_i της οικογένειας.

3. Πάνω στη γραμμή R των πραγματικών αριθμών, το μέτρο ενός πεπερασμένου ευθύγραμμου τμήματος είναι το μήκος του.

ΣΧΟΛΙΟ: Από τους παραπάνω Ορισμούς, μπορούμε να εξαγάγουμε κάποια συμπεράσματα. Το μέτρο μιας (ευθυγραμμίσιμης) καμπύλης είναι το μήκος της. Κατά τον ίδιο τρόπο, το μέτρο μιας επιφάνειας είναι το εμβαδόν της και το μέτρο ενός τρισδιάστατου τμήματος του χώρου είναι ο όγκος του. Το μέτρο κάθε αριθμήσιμου σημειοσυνόλου είναι μηδέν. Επίσης το μέτρο του κενού συνόλου είναι μηδέν. Τέλος, αν έχουμε δυο σύνολα A και B, ισχύει η ακόλουθη σχέση:

m(AE B) = m(A)+m(B)-m(AC B).

Ο ορισμός της έννοιας της Τοπολογικής Διάστασης είναι ένα ακόμα πιο προχωρημένο θέμα.

ΟΡΙΣΜΟΣ 4. Η Τοπολογική Διάσταση του κενού συνόλου είναι –1.

ΟΡΙΣΜΟΣ 5. Ένα υποσύνολο A ενός τοπολογικού χώρου T έχει Τοπολογική Διάσταση n αν και μόνο αν το τοπολογικό του σύνορο, B(A), μπορεί να έχει Τοπολογική Διάσταση το πολύ n-1.

ΣΧΟΛΙΟ: Όπως ήδη ξέρουμε, η Τοπολογική Διάσταση μπορεί να είναι μόνο ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός. (Εξαίρεση: Η τοπολογική διάσταση του κενού συνόλου εξ ορισμού είναι –1). Όλες οι παραδοχές που θέσαμε για ζητήματα απλής Ευκλείδιας Γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτόν τον ορισμό.

Τώρα έρχεται το ενδιαφέρον μέρος.

ΟΡΙΣΜΟΣ 6. Με μια κάλυψη ενός υποσυνόλου A ενός Ευκλειδειου Χώρου R^N, εννοούμε μια οικογένεια N-διάστατων κύβων με πλευρές ίσες με l, οι οποίοι καλύπτουν το A.

ΟΡΙΣΜΟΣ 7. Ας θεωρήσουμε το άθροισμα: S {1^D} = n1^D, των πλευρών όλων των κύβων που καλύπτουν το A, υψωμένων σε μια αυθαίρετη δύναμη D και ας αφήσουμε το μήκος 1 της πλευράς των κύβων να γίνεται όλο και πιο μικρό. Στο όριο, καθώς το 1 τείνει στο μηδέν και το πλήθος των κύβων τείνει αντίστοιχα στο άπειρο, η τιμή του Σ εξαρτάται από την τιμή του D. Καθώς το D διατρέχει τους πραγματικούς αριθμούς από το μηδέν στο συν άπειρο, η τιμή του αθροίσματος μπορεί να αλλάξει από το άπειρο στο μηδέν. Εάν και μόνον εάν υπάρχει μια, συγκεκριμένη, μοναδική τιμή D₀ του D, τέτοια ώστε: για κάθε
D < D₀ το άθροισμα να είναι ίσο με άπειρο, ενώ για κάθε D > D₀ το άθροισμα να είναι μηδέν, τότε η τιμή του αθροίσματος Σ ονομάζεται Μέτρο Hausdorff του συνόλου A.

ΟΡΙΣΜΟΣ 8. Η τιμή του D για την οποία η τιμή του αθροίσματος S {1^D} μεταβάλλεται από το άπειρο στο μηδέν ονομάζεται Διάσταση Hausdorff-Besicowitch του A, με την προϋπόθεση ότι μια τέτοια τιμή υπάρχει.

ΣΧΟΛΙΟ: Η Διάσταση Hausdorff-Besicowitch όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι βέβαια η fractal διάσταση του συνόλου. Με την προϋπόθεση ότι για κάποιο συγκεκριμένο σύνολο η διάσταση αυτή υπάρχει, αυτό το σύνολο είναι ένα fractal εάν και μόνον εάν η τιμή αυτής της διάστασης διαφέρει από την τιμή της Τοπολογικής Διάστασης του fractal.

Σαν ένα τελικό σχόλιο, αυτός ο ορισμός ενός fractal δεν είναι ο μοναδικός που βρίσκεται σε χρήση. Στην πραγματικότητα και ο ίδιος ο Mandelbrot στην πράξη αρνείται να περιορίσει τον όρο ‘Fractal’ αποκλειστικά σε σύνολα που έχουν την παραπάνω ιδιότητα. (B.B.Mandelbrot, 1982, σελ. 361 ως 364, 373 και σχετικές παραπομπές.) Συνιστάται στους αναγνώστες να προσέξουν ιδιαίτερα τα πολύ ενδιαφέροντα σχόλιά του. Επίσης, εφόσον το θέμα συνεχίζει να εξελίσσεται και να επεκτείνεται, οι ενδιαφερόμενοι μελετητές θα πρέπει να πάρουν υπόψη τους την μεγάλη ποικιλία νέων εννοιών που αναπτύσσονται πάνω στην έρευνα και τις εφαρμογές σε όλους τους τομείς. Τέτοιες είναι οι έννοιες των multifractals, affine fractals, (ομοπαραλληλικά συσχετισμένων fractals), της διάστασης fracton κλπ. (Για μια θαυμάσια παρουσίαση, δείτε τον Barnsley, 1988).

Και με αυτά τα σχόλια ολοκληρώνεται η παρούσα εργασία.

Γιάννης Μπακόπουλος.

Κύριο θέμα | Βιβλιογραφία | Παράρτημα | Σχήματα | Άλλα Links